Pengumuman:
Bagi yang ingin bertanya soal, silakan mengirim soal dalam bentuk pdf melalui massanger facebook Osnipa. Tim Osnipa akan berusaha memberikan referensi jawaban. Terimakasih.
Akurat dan Terpercaya

Soal KSN Matematika SMP Tahun 2020 dan Pembahasan

Hai adik-adik SMP, berikut ini Osnipa akan membagikan soal KSN Matematika SMP Tahun 2020 dan Pembahasan. Semoga soal-soal ini bermanfaat ya.

Soal KSN Matematika SMP Tahun 2020 Hari Pertama dan Pembahasan

1. Misalkan AB diameter lingkaran Dan P titik diluar lingkaran. Garis PQ dan PR menyinggung lingkaran di titik Q dan R. Garis PH tegak lurus garis AB di H dan PH berpotongan AR di S. Jika ∠QPH = 40° dan ∠QSA = 30°, Tentukan ∠RPS.

Pembahasan:

Misalkan O pusat lingkaran, garis PQ dan PR menyinggung lingkaran di titik Q dan R maka ∠ORP = ∠OQP = 90°.

Karena O pusat lingkaran maka OR = OQ, akibatnya ∆POQ ≡ ∆POR, sehingga PQ = PR. Karena OA = OR, maka ∠ORA = ∠OAR dan ∠PSR = ∠ASH = 90° − ∠OAR = 90° − ∠ORA = ∠PRS.

Hal ini menunjukkkan bahwa ∆PSR sama kaki dan PR = PS. Jadi PQ = PR = PS, sehingga ∠PQS = ∠PSQ =(180° − ∠QPS) : 2 = 70° dan ∠PSR = ∠PRS = 180° − ∠QSA − ∠PSQ = 80°.

Jadi, ∠RPS = (180° − ∠PSR − ∠PRS) : 2 = 20°.

2. Terdapat sebuah rapat yang terdiri dari 40 kursi yang dihadiri oleh 16 tamu undangan Jika setiap tamu undangan harus dibatasi minimal dengan 1 kursi maka tentukan banyaknya susunan.

Pembahasan:

Misalkan orang paling kiri kita sebut orang ke-1, orang yang tepat disebelah kanan orang ke-1 kita sebut orang ke-2 dan seterusnya sampai orang yang paling kanan kita sebut orang ke-16.

Misalkan a adalah banyak kursi kosong disebelah kiri orang ke-1, b adalah banyaknya kursi kosong di sebelah kanan ke-16, dan xi adalah banyaknya kursi kosong diantar orang ke−i dan orang ke−(i + 1), maka xi ≥ 1, i = 1, 2,3, … ,15 dan a ≥ 0, b ≥ 0.

Karena ada 40 kursi maka a + x1 + x2 + ⋯ + x15 + b = 40 − 16 = 24

Misalkan x16 = a + 1 ≥ 1 dan x17 = b + 1 ≥ 1, maka x1 + x2 + ⋯ + x16 + x17 = 26, dengan xi ≥ 1, i = 1, 2, 3 … ,16

Berdasarkan D’moivre maka banyaknya solusi = (26 − 1 | 17 − 1) = (25 | 16).

Banyaknya cara menyusun posisi ke enam belas orang = 16!

Jadi, total banyaknya susunan = (25 | 16) 16!

3. Pada teka-teki silang Pada teka-teki silang berikut, masing-masing kotak hanya boleh diisi angka dari 1 sampe 9.

Mendatar
(1) Faktor komposit dari 1001
(3) Bilangan bukan polindrom
(5) p x q³ dengan p ≠ q dan p, q ∈ prima

Menurun
(1) a − 1 dan b + 1, a ≠ b dan a, b ∈ prima
(2) Kelipatan 9
(4) p³ x q, dengan p ≠ q dan p, q ∈ prima

Pembahasan:

Mendatar (1) : Faktor komposit yang merupakan bilangan 2 digit hanyalah 77 dan 91. Jika kita isikan 91 maka tidak ada ada jawaban untuk menurun (1). Jadi pastilah mendatar (1) = 77.

Menurun (1) : bilangan 2 digit yang angka puluhannya 7 yang memenuhi hanyalah 72.

Mendatar (5) dan menurun (4) : Jika ada satu atau lebih nilai p atau q bernilai lebih dari 3, maka ada satu atau lebih nilai mendatar (5) atau menurun (4) yang merupakan bilangan lebih dari 2 digit. Jadi haruslah p, q ∈ {2, 3}. Jika p = 2, q = 3, maka mengakibatkan mendatar (3) bilangan polindrom. Jadi harusah p = 3, q = 2, sehingga mendatar (5) = 24, menurun(4) = 54.

Menurun (2) : 7a2 habis dibagi 9, karena tidak boleh mengisi dengan angka 0, maka a = 9, sehingga mendatar (3) = 295.

4. Diberikan fungsi f ∶ R ⟶ R dan fungsi g ∶ R ⟶ R, sehingga meenuhi gambar berikut

Tentukan banyaknya nilai x, agar (f(x)) − 2g(x) − x ∈ {−10. −9, −8, … , 9, 10}.

Pembahasan:

g(x) adalah parabola y = x² yang digeser 1 satuan ke bawah maka g(x) = x² − 1.
f(x) adalah garis yang melalui (0, 1) dan (−1, 0), maka (1) ∙ x + (−1)f(x) = (1)(−1),
diperoleh f(x) = x + 1. Dengan demikian, (f(x))² − 2g(x) − x = −x² + x + 3 = a, dengan
a ∈ {−10. −9, … , 10}, sehingga x² − x − 3 + a = 0. Karena a bilangan real maka D ≥ 0,
1 − 4(−3 + a) ≥ 0 ⟺ a ≤ 13/4 = 3,25, diperoleh a = 3, 2, 1, 0, −1, … , −10 (ada 14 nilai a yang memenuhi).

Perhatikan bahwa (f(x))² − 2g(x) − x mempunyai akar yang sama jika a = 13/4. Dengan demikian, setiap nilai a akan menghasilkan 2 nilai x yang berbeda, sehingga banyaknya x yang memenuhi adalah 14 × 2 = 28.

5. Di sebuah kebun yang berbentuk segiempat di setiap titik sudut ada menara pengawas dan di dalam kebun tersebut ada menara pemantau. Akan dibuat daerah-daerah kecil yang berbentuk segitiga sehingga titik sudutnya merupakan menara (bebas menara pemantau dan atau pengawas). Misalkan k(m,n) banyaknya daerah kecil yang dibuat jika ada m menara pengawas dan n menara pemantau.
a. nilai k(4,1), k(4,2), k(4,3), dan k(4,4)
b. rumus umum k(m,n) dengan m dan n asli.

Pembahasan:

Untuk k(4, 1) maka kita bisa membagi kebun seperti pada gambar di bawah, dengan S (menara pengawas) dan U(menara pemantau). Jadi k(4, 1) = 4.

Untuk k(4, 2) maka kita bisa membagi kebun seperti pada gambar di bawah, Jadi k(4, 3) = 6.

Untuk k(4, 3) maka kita bisa membagi kebun seperti pada gambar di bawah, Jadi k(4, 3) = 8.

Untuk k(4, 4) maka kita bisa membagi kebun seperti pada gambar di bawah, Jadi k(4, 4) = 10.

Ada 3 jenis segitiga, yatu SUS, UUS, dan UUU. Berdasarkan pola dengan kita selalu menempatkan S sepanjang keliling kebun, maka banyaknya segitiga SUS = banyaknya menara pengawas, banyaknya segitiga UUS = banyaknya menara pemantau, dan banyaknya segitiga UUU = banyaknya menara pemantau – 2, sehingga k(m, n) = m + 2n – 2. Sebagai contoh untuk m = 5, n=1 maka kita bisa membagi kebun menjadi seperti gambar 1, dan untuk m = 6, n = 5 seperti pada gambar 2.

Soal KSN Matematika SMP Tahun 2020 Hari Kedua dan Pembahasanwe

Leave a Reply

Your email address will not be published.