Soal KSN Matematika SMP Tahun 2020 dan Pembahasan

Hai adik-adik SMP, berikut ini Osnipa akan membagikan soal KSN Matematika SMP Tahun 2020 dan Pembahasan. Semoga soal-soal ini bermanfaat ya.

Soal KSN Matematika SMP Tahun 2020 Hari Pertama dan Pembahasan

1. Misalkan AB diameter lingkaran Dan P titik diluar lingkaran. Garis PQ dan PR menyinggung lingkaran di titik Q dan R. Garis PH tegak lurus garis AB di H dan PH berpotongan AR di S. Jika ∠QPH = 40° dan ∠QSA = 30°, Tentukan ∠RPS.

Pembahasan:

Misalkan O pusat lingkaran, garis PQ dan PR menyinggung lingkaran di titik Q dan R maka ∠ORP = ∠OQP = 90°.

Karena O pusat lingkaran maka OR = OQ, akibatnya ∆POQ ≡ ∆POR, sehingga PQ = PR. Karena OA = OR, maka ∠ORA = ∠OAR dan ∠PSR = ∠ASH = 90° − ∠OAR = 90° − ∠ORA = ∠PRS.

Hal ini menunjukkkan bahwa ∆PSR sama kaki dan PR = PS. Jadi PQ = PR = PS, sehingga ∠PQS = ∠PSQ =(180° − ∠QPS) : 2 = 70° dan ∠PSR = ∠PRS = 180° − ∠QSA − ∠PSQ = 80°.

Jadi, ∠RPS = (180° − ∠PSR − ∠PRS) : 2 = 20°.

2. Terdapat sebuah rapat yang terdiri dari 40 kursi yang dihadiri oleh 16 tamu undangan Jika setiap tamu undangan harus dibatasi minimal dengan 1 kursi maka tentukan banyaknya susunan.

Pembahasan:

Misalkan orang paling kiri kita sebut orang ke-1, orang yang tepat disebelah kanan orang ke-1 kita sebut orang ke-2 dan seterusnya sampai orang yang paling kanan kita sebut orang ke-16.

Misalkan a adalah banyak kursi kosong disebelah kiri orang ke-1, b adalah banyaknya kursi kosong di sebelah kanan ke-16, dan xi adalah banyaknya kursi kosong diantar orang ke−i dan orang ke−(i + 1), maka xi ≥ 1, i = 1, 2,3, … ,15 dan a ≥ 0, b ≥ 0.

Karena ada 40 kursi maka a + x1 + x2 + ⋯ + x15 + b = 40 − 16 = 24

Misalkan x16 = a + 1 ≥ 1 dan x17 = b + 1 ≥ 1, maka x1 + x2 + ⋯ + x16 + x17 = 26, dengan xi ≥ 1, i = 1, 2, 3 … ,16

Berdasarkan D’moivre maka banyaknya solusi = (26 − 1 | 17 − 1) = (25 | 16).

Banyaknya cara menyusun posisi ke enam belas orang = 16!

Jadi, total banyaknya susunan = (25 | 16) 16!

3. Pada teka-teki silang Pada teka-teki silang berikut, masing-masing kotak hanya boleh diisi angka dari 1 sampe 9.

Mendatar
(1) Faktor komposit dari 1001
(3) Bilangan bukan polindrom
(5) p x q³ dengan p ≠ q dan p, q ∈ prima

Menurun
(1) a − 1 dan b + 1, a ≠ b dan a, b ∈ prima
(2) Kelipatan 9
(4) p³ x q, dengan p ≠ q dan p, q ∈ prima

Pembahasan:

Mendatar (1) : Faktor komposit yang merupakan bilangan 2 digit hanyalah 77 dan 91. Jika kita isikan 91 maka tidak ada ada jawaban untuk menurun (1). Jadi pastilah mendatar (1) = 77.

Menurun (1) : bilangan 2 digit yang angka puluhannya 7 yang memenuhi hanyalah 72.

Mendatar (5) dan menurun (4) : Jika ada satu atau lebih nilai p atau q bernilai lebih dari 3, maka ada satu atau lebih nilai mendatar (5) atau menurun (4) yang merupakan bilangan lebih dari 2 digit. Jadi haruslah p, q ∈ {2, 3}. Jika p = 2, q = 3, maka mengakibatkan mendatar (3) bilangan polindrom. Jadi harusah p = 3, q = 2, sehingga mendatar (5) = 24, menurun(4) = 54.

Menurun (2) : 7a2 habis dibagi 9, karena tidak boleh mengisi dengan angka 0, maka a = 9, sehingga mendatar (3) = 295.

4. Diberikan fungsi f ∶ R ⟶ R dan fungsi g ∶ R ⟶ R, sehingga meenuhi gambar berikut

Tentukan banyaknya nilai x, agar (f(x)) − 2g(x) − x ∈ {−10. −9, −8, … , 9, 10}.

Pembahasan:

g(x) adalah parabola y = x² yang digeser 1 satuan ke bawah maka g(x) = x² − 1.
f(x) adalah garis yang melalui (0, 1) dan (−1, 0), maka (1) ∙ x + (−1)f(x) = (1)(−1),
diperoleh f(x) = x + 1. Dengan demikian, (f(x))² − 2g(x) − x = −x² + x + 3 = a, dengan
a ∈ {−10. −9, … , 10}, sehingga x² − x − 3 + a = 0. Karena a bilangan real maka D ≥ 0,
1 − 4(−3 + a) ≥ 0 ⟺ a ≤ 13/4 = 3,25, diperoleh a = 3, 2, 1, 0, −1, … , −10 (ada 14 nilai a yang memenuhi).

Perhatikan bahwa (f(x))² − 2g(x) − x mempunyai akar yang sama jika a = 13/4. Dengan demikian, setiap nilai a akan menghasilkan 2 nilai x yang berbeda, sehingga banyaknya x yang memenuhi adalah 14 × 2 = 28.

5. Di sebuah kebun yang berbentuk segiempat di setiap titik sudut ada menara pengawas dan di dalam kebun tersebut ada menara pemantau. Akan dibuat daerah-daerah kecil yang berbentuk segitiga sehingga titik sudutnya merupakan menara (bebas menara pemantau dan atau pengawas). Misalkan k(m,n) banyaknya daerah kecil yang dibuat jika ada m menara pengawas dan n menara pemantau.
a. nilai k(4,1), k(4,2), k(4,3), dan k(4,4)
b. rumus umum k(m,n) dengan m dan n asli.

Pembahasan:

Untuk k(4, 1) maka kita bisa membagi kebun seperti pada gambar di bawah, dengan S (menara pengawas) dan U(menara pemantau). Jadi k(4, 1) = 4.

Untuk k(4, 2) maka kita bisa membagi kebun seperti pada gambar di bawah, Jadi k(4, 3) = 6.

Untuk k(4, 3) maka kita bisa membagi kebun seperti pada gambar di bawah, Jadi k(4, 3) = 8.

Untuk k(4, 4) maka kita bisa membagi kebun seperti pada gambar di bawah, Jadi k(4, 4) = 10.

Ada 3 jenis segitiga, yatu SUS, UUS, dan UUU. Berdasarkan pola dengan kita selalu menempatkan S sepanjang keliling kebun, maka banyaknya segitiga SUS = banyaknya menara pengawas, banyaknya segitiga UUS = banyaknya menara pemantau, dan banyaknya segitiga UUU = banyaknya menara pemantau – 2, sehingga k(m, n) = m + 2n – 2. Sebagai contoh untuk m = 5, n=1 maka kita bisa membagi kebun menjadi seperti gambar 1, dan untuk m = 6, n = 5 seperti pada gambar 2.

Soal KSN Matematika SMP Tahun 2020 Hari Kedua dan Pembahasanwe

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *